Immagina l'aria intorno a te. In ogni singolo punto della stanza, l'aria ha una velocità specifica—una direzione in cui si muove e una velocità. Questo è un campo vettoriale. A differenza di un campo scalare, che potrebbe semplicemente indicarti la temperatura in ogni punto, un campo vettoriale "riempie" lo spazio con frecce che descrivono fenomeni fisici dinamici come vento, correnti oceaniche o l'invisibile forza di gravità.
Definizioni formali
Per analizzare questi campi matematicamente, utilizziamo le seguenti definizioni fondamentali:
Definizione 1 (Campo vettoriale in 2D): Sia $D$ un insieme in $\mathbb{R}^2$. Un campo vettoriale su $\mathbb{R}^2$ è una funzione $\mathbf{F}$ che assegna a ciascun punto $(x, y)$ in $D$ un vettore bidimensionale:
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
dove $P$ e $Q$ sono campi scalari (funzioni di due variabili).
Definizione 2 (Campo vettoriale in 3D): Per un sottoinsieme $E$ di $\mathbb{R}^3$, il campo è definito come: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Definizione 2 (Campo vettoriale in 3D): Per un sottoinsieme $E$ di $\mathbb{R}^3$, il campo è definito come: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Interpretazioni fisiche
- Campi di velocità: Rappresentano il flusso di fluidi o i modelli di vento. Ad esempio, la Figura 1 mostra i modelli di vento nella baia di San Francisco, mentre la Figura 13 modella il flusso di fluido attraverso un tubo convergente.
- Campi di forza:Legge della gravitazione di Newton definisce un campo dove la magnitudine $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$. In forma vettoriale: $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$. Nota: I fisici usano spesso $\mathbf{r}$ invece di $\mathbf{x}$.
- Campi elettrici: Definito come $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$, rappresentante la forza per unità di carica.
La geometria dei campi gradienti
Se $f$ è una funzione scalare, il suo gradiente $\nabla f$ crea un tipo speciale di campo vettoriale. In 3D, questo si esprime come:
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ Visione geometrica
Come illustrato nella Figura 15, i vettori gradienti sono sempre perpendicolari alle curve di livello (o superfici di livello) della funzione originale $f$ e puntano nella direzione del massimo tasso di aumento.
Esempio 1: Il campo rotatorio
Considera $\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$. In $(1, 0)$ abbiamo $\langle 0, 1 \rangle$. In $(0, 1)$ abbiamo $\langle -1, 0 \rangle$. Tracciando questi vettori rivela un flusso circolare attorno all'origine—la base matematica per modellare vortici e rotazioni meccaniche.